Construtivismo e Construcionismo

No post anterior eu falei sobre a linguagem LOGO. Vou aproveitar e falar agora sobre a filosofia construcionista que está por trás desta linguagem.

Seymour Papert, como já citado, simpatizava com as obras de Piaget e sua filosofia construtivista. Piaget afirmava que o aprendizado do indivíduo se dava conforme sua interação com o ambiente. Os estímulos externos do meio sobre o indivíduo permitiam a elaboração e construção de conhecimentos cada vez mais elaborados. Piaget afirmava que o indivíduo não possui inteligência inata, mas que ao mesmo tempo também não é passivo à influência do meio. Desta forma, Piaget diz que não existe uma verdade absoluta, e que o conhecimento adquirido pelo indivíduo depende do modo que este se relaciona com o meio e responde aos seus estímulos. Ainda, o modo como o indivíduo percebe o meio é determinado por suas experiências, resultado das relações que estabelece com este meio.

Piaget elaborou o princípio de equilibração, que afirma que o indivíduo adquire novos conhecimentos de duas formas, pela assimilação e pela acomodação. Citando o texto da wikipedia, " No primeiro caso aquilo com que se entra em contato é assimilado por um esquema já existente que então se amplia, no segundo, o dado novo é incompatível com os esquemas já formulados e então se cria um novo esquema acomodando este novo conhecimento. Este novo esquema será então ampliado na medida em que o indivíduo estabelecer relações com seu meio".

O construcionismo elaborado por Papert parte desta filosofia construtivista, e foca no aprendizado dos indivíduos, com destaque às crianças, utilizando recursos computacionais que estimulem este aprendizado. Estes recursos devem estimular a criança a elaborar a construção dos conceitos por conta própria. A criança faz uso de recursos e ferramentas concretas e se baseia na sua percepção de mundo para construir estes conceitos, motivo pelo qual alguns conceitos são mais complexos para uns que para outros. Papert afirma que a utilização de materiais palpáveis permite uma maior experimentação por parte da criança, permitindo a exploração da criatividade e intuição. O professor neste enfoque tem o papel de facilitador.

Em resumo, Papert afirma que a relação do indivíduo com o meio deve ser feito de forma concreta, ou seja, no campo material, com ferramentas e recursos palpáveis, permitindo desta forma a construção de conhecimento mais elaborado e sem imposição do professor, pelo contrário, auxiliado por ele.

A Linguagem LOGO

LOGO é uma linguagem de programação criada nos anos 60, pelo matemático Seymour Papert no MIT -Massachusetts Institute of Technology. Esta linguagem tem por trás uma filosofia sobre o aprendizado. Ela surgiu do contato de Papert com a obra de Piaget. A filosofia construtivista de Papert diz que o meio tem influência na construção de conhecimento do indivíduo. Afirma que o indivíduo possui, antes do conhecimento formal, conhecimentos adquiridos de forma espontânea e livre durante o decorrer de sua vida. Afirma ainda que este conhecimento intuitivo é melhor aprendido porque o indivíduo, através da exploração e da investigação, chega a uma conclusão por si só.

A linguagem LOGO portanto tem como objetivo primeiro auxiliar na educação de crianças e adolescentes, permitindo a exploração de aspectos geométricos. Entretanto é também utilizada em Robótica.

Faça o download do programa BetaLogo aqui. Programa em português.

Clicando aqui você encontra uma lista de comandos utilizados no programa BetaLogo com a descrição do que faz e um exemplo de como utilizar.

LOGO é uma linguagem onde os comandos são instruções de movimento da tartaruga. Esta tartaruga seria o lápis. Os comandos basicamente instruem a tartaruga a andar pra trás e para frente e girar um determinado valor de graus para a direita ou para a esquerda.

Como exemplo vamos criar um quadrado de lado 50.

O primeiro comando deve ser ul, que instrui a tartaruga a usar o lápis, ou seja, quando a tartaruga se movimentar, um traço vai indicar o trajeto dela.

Em seguida digite pf 50 e dê enter, a tartaruga vai andar 50 passos. Digite então pd 90 e de enter, a tartaruga vai girar 90 graus para a direita. Digite novamente pf 50, dê enter e novamente pd 90 e dê enter. A tartaruga vai novamente andar 50 passos e girar 90 graus para a direita. Dois lados do quadrado já foram feitos. Faça o mesmo procedimento mais duas vezes e a tartaruga desenhará o quadrado. Você pode ainda digitar todos os comandos numa linha só antes de dar enter e o processo será feito todo de uma vez.

Como LOGO é uma linguagem de programação, é possível que os alunos se atenham aos comandos da linguagem e deixem a matemática de lado. Cabe ao professor direcionar e condicionar o processo, e, se necessário, restringir o uso de certos comandos. Para exemplificar como isto pode ocorrer, vamos considerar que o professor propôs a criação de um triângulo escaleno no LOGO.

Vamos instruir a tartaruga a ir 30 passos para a frente (pf 30), girar 120 graus para a direita (pd 120) e andar mais 40 passos (pf 40). E agora, como saber quantos graus girar a tartaruga e quantos passos ela deve dar para fechar o triângulo? Existe um comando no BetaLogo que envia a tartaruga direto para o centro, onde começamos o problema. É o comando pc. Digitando este comando a tartaruga volta para o centro e o triângulo está traçado. O aluno utilizou algum método matemático para fazer este triângulo? Não, usou apenas os comandos do programa.

Se o professor então restringisse o problema apenas ao uso dos comandos de andar e girar (pf, pt, pd, pe) e ao conhecimento matemático dos alunos, como resolver esta questão?

Vamos então refazer o problema. O comando tat apaga tudo o que foi feito e volta a tartaruga para a posição inicial. Vamos repetir os primeiros comandos (pf 30 pd 120 pf 40). Precisamos agora saber quanto vamos girar a tartaruga e quanto andar. Nós temos 2 lados do triângulo e o ângulo formado entre eles. Podemos então usar a lei dos cossenos que diz que a²=b²+c²-2bc(cosA). Onde a, b, c são os lados e A é o ângulo oposto ao lado a. Como o ângulo externo entre b e c é de 120º, então o ângulo entre eles é 60º. Substituimos então a²=30²+40²-2x30x40cos60º. Isso nos dá que a é igual a aproximadamente 36,06. Mas qual é o ângulo entre a e c? Vamos repetir então a lei dos cossenos. b²=a²+c²-2ac(cosB). Ou seja, 900=1300+1600-2x40x36,06x(cosB). Isso nos dá que o ângulo B é de 46,1º. Portanto devemos girar a tartaruga 133,9º para a direita (pd 133.9) e andar 36,06 passos para frente (pf 36.06). Está criado o triângulo escaleno com as restrições dadas.

Como toda a atividade de matemática envolvendo informática, o professor deve estar sempre atento para evitar a dispersão dos alunos.

Utilizando a informática para ensinar matemática

Eu começo com a pergunta: Como um professor que deseja utilizar a informática deve iniciar esta atividade?

O professor deve definir primeiro qual o conteúdo deseja ensinar. O importante é achar o programa mais adequado a ser utilizado. O programa deve se adaptar ao conteúdo empregado e não o contrário, o conteúdo se adaptar ao programa. Vamos considerar um professor ensinando matrizes. O que deve ser feito primeiro é pesquisar programas na internet. Pesquisar no google, por exemplo, algo como "software matemático para matriz".

Em uma pequena busca eu encontrei dois programas distintos:

O primeiro é o MathSys. (Download aqui)

É um programa gratuito, em português, desenvolvido na linguagem Delphi. Apresenta um layout bem simples e fácil de usar.

No início deve ser selecionado se deseja fazer cálculos com uma matriz (determinante, matriz inversa, transposta, multiplicação por escalar, matriz linha equivalente) ou com duas (soma, subtração, multiplicação).

Este programa não permite uma maior exploração das operações com matriz. Seria mais recomendado para introduzir os alunos à matemática informatizada, ou para reduzir o trabalho manual quando se precisa fazer cálculos com várias matrizes, ou com matrizes muito grande.

O MathSys abrange ainda outros conteúdos além de matriz, como matemática financeira, frações, geometria analítica e probabilidade.

O segundo é o WinMat. (Download aqui)

Também gratuito, e a versão disponibilizada aqui está em português.

Ele permite a criação de diversas matrizes e associa letras a cada matriz. Permite todas as operações básicas com matriz, além de gerar matriz de rotação em 2D e 3D e matriz de reflexão. É possível inserir fórmulas para gerar matriz e resolve sistemas lineares. Possui ainda a função de programação linear. Com este programa o caráter experimental da matemática informatizada está presente, pois como podemos alternar entre as matrizes sem perder as anteriores podemos analisar os efeitos de determinada operação. Este software reúne eficiência com um manuseio relativamente simples.

Existe um programa chamado SciLab (Download aqui)

Este programa também realiza diversas operações com matriz. É um programa muito mais completo, trabalha ainda com funções, gráficos, etc. Este programa trabalha a partir de comandos e é necessário um conhecimento mais aprofundado do programa tanto por parte dos alunos quanto do professor para que seja utilizado com melhor aproveitamento. Mais recomendado pra cursos superiores na área de exatas.

Escolhido o programa que mais se adapte às suas necessidades, o professor deve então estudar o programa, e formular as atividades relacionadas ao conteúdo a ser ensinado. É muito importante que o professor tenha um bom conhecimento sobre o programa e tenha um planejamento das atividades, pois os alunos se dispersam com facilidade neste tipo de atividade.