Séries de Maclaurin

          No post de hoje vou falar sobre as séries de Maclaurin. As séries de Maclaurin são um caso particular das séries de Taylor. E estas, por sua vez, têm o seu nome dado por conta de Brook Taylor, que as estudou em 1715.

          As séries de Taylor são compostas por uma somatória infinita de polinômios com coeficientes definidos pelas derivadas em um ponto a de uma f(x) infinitamente derivável. Ou seja:

          Como dito no início, nosso objetivo são as séries de Maclaurin, que é um caso particular das séries de Taylor. As séries de Taylor podem ser chamadas de séries de Maclaurin quando a somatória é feita no ponto a=0. Portanto temos:

          Estas séries são usadas para aproximação da função f(x) no ponto dado. Apresentarei alguns exemplos de diferentes séries de Maclaurin.

          A primeira função que vamos estudar é f(x)=e^x. Esta função apresenta todas as suas derivadas iguais, ou seja, f(x)=f’(x)=f’’(x)=...=e^x. E f(0)=1. Temos então que a série de Maclaurin M(x) é

M(x)=1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n!.

Vamos utilizar o winplot para verificarmos esta aproximação. Utilizaremos cores diferentes para verificarmos os gráficos das aproximações até o quinto termo.

          Vamos então verificar os gráficos:

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          Veja que à medida que aumentamos a quantidade de termos da série, o gráfico se aproxima do gráfico da função.

          Passemos agora para uma nova função. f(x)=sen(x). O primeiro passo é verificar suas derivadas.

f(x) = f’’’’(x) =sen(x) => f(0)=0

f’(x) = f’’’’’(x) = cos(x) => f’(0)=1

f’’(x) = f’’’’’’(x) = -sen(x) => f’’(0)=0

f’’’(x) = f’’’’’’’(x) = -cos(x) => f’’’(x)=-1

          Temos então M(x)=0 + x + 0x²/2 –x³/6 +0x⁴/24 + x⁵/120 + 0x⁶/720 – x⁷/5040, ou seja,

          M(x)=x – x³/6 + x⁵/120 – x⁷/5040.

          Vamos então verificar os gráficos:

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          Perceba que novamente à medida que aumentamos a quantidade de termos da somatória, mais o gráfico se aproxima do gráfico da função.

           Vamos agora analisar a função f(x)=1/(x-1). Definiremos primeiro as derivadas:

f(0)=-1

f’(x)=-1/(x-1)² => f’(0)=-1

f’’(x)=2/(x-1)³ => f’’(0)=-1

f’’’(x)=-6/(x-1)⁴ => f’’’(0)=-1

f’’’’(x)=24/(x-1)⁵ => f’’’’(0)=-1

          Temos então que M(x)=-1 – x – x² – x³ – x⁴
          Novamente vamos elaborar os gráficos:

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          Os gráficos novamente indicam a aproximação.
          Perceba que as séries são infinitas e verificamos apenas os primeiros termos da somatória. Este post tem a intenção de apresentar estas séries sem análises mais profundas. Estas séries são estudadas em Cálculo II.

Função Seno no Winplot

          No post desta semana continuarei a explorar o Winplot. Hoje verificarei o comportamento de cada uma das constantes da função seno f(x)=Asen(Bx + C) + D.

          A principio vamos considerar C=D=0 e B=1. Vejamos o comportamento da constante A.

          No post anterior eu mostrei o passo a passo de como inserir funções no winplot. Nenhum novo comando será inserido nesta experiência, por isso não irei detalhar novamente como manusear o Winplot. Apenas uma observação deve ser feita. Para inserir uma função seno, deve ser inserida a palavra sin() e dentro dos parênteses deve ser inserido o conteúdo deste seno (por exemplo: Bx+C).

          Vamos prosseguir. f(x)=Asen(x). Com a variando de A=-1 a 2. O gráfico de cada função estará de uma cor para diferenciarmos a função.

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Veja que a amplitude da senoide é igual ao módulo de A, e que com A assumindo valores negativos, os valores da função assumem sinais opostos.

           Em seguida vamos analisar o comportamento de D. f(x)=sin(x) + D e vamos variar D de 0 a 2.

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          A imagem da função sofre um deslocamento de D. Ou seja, os valores mínimo e máximo da função têm a adição de D e consequentemente o restante da função sofre o mesmo processo. Observe que quando D=0 a função seno tem valores máximo e mínimo iguais a A e –A. Portanto, o valor máximo de uma função é D+|A| e o mínimo D-|A|.

          O Próximo passo é verificar como a constante B afeta o gráfico da função. f(x)=sen(Bx), com B variando de 1 a 3.

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          A função f(x)=sen(x) tem freqüência de 2pi. Verifique que a freqüência da função varia de acordo com o valor de B, ou seja, a freqüência é de 2pi/B.

          Por último vamos analisar o comportamento de C. f(x)=sen(x + C). Variando C de 0 a 2.

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          Veja que em relação à função f(x)=sen(x). O gráfico sofre um deslocamento de –C no eixo x.

          Vamos então recapitular:

A: Define a amplitude do gráfico, sendo |A| esta amplitude.

B: Define a freqüência da função definida por 2pi/B.

C: Desloca a função no eixo x em –C.

D: Desloca a imagem em D. Valor máximo=D+|A|. Valor mínimo=D-|A|.

          Verifique agora o seguinte gráfico:

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          Pelo gráfico, podemos definir qual a função seno? Vamos tentar.

          A imagem da função vai de 1 a 5. Daí temos que a amplitude é 2. Ou seja, |A|=2. Temos que o valor máximo desta função é 5, ou seja, D+|A|=5, logo D=3. Verifique também, que a função tem dois pontos máximos consecutivos em 1 e 5, portanto a freqüência da função é 4. 2pi/B=4, então B=pi/2. Temos então que f(x)=Asen(xpi/2 + C) + 3 com a sendo 2 ou -2. Vamos verificar o ponto (1,5). f(1)=Asen(pi/2 + C) + 3 = 5. Logo, Asen(pi/2 + C) = 2. Como A=2 ou -2, sen(pi/2 + C)=1 ou -1. Pela lógica, se A=-2, então sen(pi/2 + C)=-1. Caso contrário A=2 e sen(pi/2 + C)=1. Vamos verificar as duas possibilidades. Primeiro para A=2.

          Temos então que sen(pi/2 + C)=1. Sabemos que o seno da somatória de dois ângulos se dá por sen(pi/2 + C)= sen(pi/2)cos(C) + cos(pi/2)sen(C).  Isso nos dá que C=0. E teríamos então a seguinte função: f(x)=2sen(pi/2) + 3.

          Para A=-2, temos sen(pi/2 + C)=-1, logo C=pi e teríamos a seguinte função: f(x)=-2sen(pi/2 + pi) + 3.

          Portanto o gráfico apresentado na figura pode ser a representação gráfica de qualquer uma das duas funções. Insira as funções no Winplot e verifique.

Utilizando o Winplot

          O winplot é um programa usado basicamente para fazer gráficos. Porém a sua utilidade pode ir além. Neste primeiro post, irei exibir uma experiência onde os gráficos gerados no winplot nos permitem estudar o comportamento de funções de segundo grau.

          O download do winplot pode ser feito clicando aqui.

          Uma função de segundo grau é do tipo f(x)=ax²+bx+c. O gráfico de uma função deste tipo é uma parábola. Vamos verificar o que acontece com o gráfico de uma função de segundo grau quando o coeficiente de x (b) varia de -5 a 5.
          Vamos adotar a=1 e c=4, ou seja, f(x) = x² + bx + 4. com b variando de -5 a 5.
          O primeiro passo é abrir o winplot, clicar na guia janela e escolher a opção 2-dim, ou apenas clicar em F2. Na janela aberta, vá na guia equação e selecione a primeira opção, explicita. Na nova janela, digite no campo onde aparece f(x)= "x^2+5x+4 e pressione enter. Irá aparecer na janela o gráfico desta função. Na janela de inventário clique em duplicar e diminua uma unidade do coeficiente de x e pressione enter. Repita o processo até -5.
          No fim obteremos os seguintes gráficos:

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          Verificamos que para quanto mais b se aproxima de 0, mais o vértice se aproxima do eixo y, tanto pela direita quanto pela esquerda.
          O próximo passo é marcar os vértices destas funções. Para isso clique na guia equação, vá em ponto e clique em (x,y) ... A coordenada x do vértice de uma parábola se dá por -b/2a. Faça os cálculos para cada um dos vértices.
          Os pontos serão marcados da seguinte forma:

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          Existe alguma função cujo gráfico passa pelos vértices das funções dadas? Verifique que aparentemente os pontos parecem formar uma parábola. Supondo existir uma parábola que passe por estes vértices, o que podemos concluir a partir deste desenho?
1º - A parábola é simétrica, ou seja, tem vértice no eixo y. Logo b=0.
2º - A parábola toca o eixo y no ponto 4, ou seja, c=4.
3º - A parábola tem concavidade voltada para baixo, logo a é negativo.
4º - A função desta parábola é do tipo f(x)=ax²+4.
          Para descobrir o valor de a, pegamos um dos vértices que marcamos, por exemplo (2,0). Ou seja, f(x)=a.2²+4=0, logo a=-1.
          Vamos então inserir a função f(x)=-x²+4 no inventário.
          Verifique que o gráfico passa por todos os vértices que marcamos:

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          Isso nos mostra que os vértices marcados são pontos da função f(x)=-x²+4.

          Esta relação existiria se o coeficiente de x² fosse a=2 para cada uma das funções onde b varia de -5 a 5? Vamos verificar. Apague todos os itens do inventário e vamos recomeçar a experiência com a=2.

          Os gráficos agora são os seguintes:

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          Em seguida vamos marcar os novos vértices destas funções. Obtemos os seguintes pontos:

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          Verifique que aparentemente os vértices são pontos de uma parábola com concavidade para baixo do tipo f(x)=ax²+4. Será que o valor de a continua a ser -1? Vamos verificar. Pegamos o ponto (1,2). f(x)=a.1²+4=2. Temos então que a=-2.

          Vamos então inserir a função f(x)=-2x²+4 no inventário. Verifique que novamente a parábola passa por todos os vértices:

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          A partir daí podemos fazer a seguinte suposição: Quando variamos o coeficiente de x em uma função de segundo grau, o gráfico formado pelos vértices destas funções é uma parábola cujo coeficiente de x² é o oposto do coeficiente de x² das funções originais, o coeficiente de x é 0 e o termo independente é igual ao termo independente das funções originais.

          Vejam que a partir do estudo dos gráficos gerados pelo Winplot nos criamos um teorema a respeito do comportamento dos gráficos estudados. Ou seja, o Winplot nos forneceu mais do que apenas desenhos.

          Que tal você fazer a sua experiência?