quinta-feira, 30 de setembro de 2010

Séries de Maclaurin

          No post de hoje vou falar sobre as séries de Maclaurin. As séries de Maclaurin são um caso particular das séries de Taylor. E estas, por sua vez, têm o seu nome dado por conta de Brook Taylor, que as estudou em 1715.
          As séries de Taylor são compostas por uma somatória infinita de polinômios com coeficientes definidos pelas derivadas em um ponto a de uma f(x) infinitamente derivável. Ou seja:
          Como dito no início, nosso objetivo são as séries de Maclaurin, que é um caso particular das séries de Taylor. As séries de Taylor podem ser chamadas de séries de Maclaurin quando a somatória é feita no ponto a=0. Portanto temos:


          Estas séries são usadas para aproximação da função f(x) no ponto dado. Apresentarei alguns exemplos de diferentes séries de Maclaurin.
          A primeira função que vamos estudar é f(x)=ex. Esta função apresenta todas as suas derivadas iguais, ou seja, f(x)=f’(x)=f’’(x)=...=ex. E f(0)=1. Temos então que a série de Maclaurin M(x) é
M(x)=1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xn/n!.
Vamos utilizar o winplot para verificarmos esta aproximação. Utilizaremos cores diferentes para verificarmos os gráficos das aproximações até o quinto termo.
          Vamos então verificar os gráficos:
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          Veja que à medida que aumentamos a quantidade de termos da série, o gráfico se aproxima do gráfico da função.

          Passemos agora para uma nova função. f(x)=sen(x). O primeiro passo é verificar suas derivadas.
f(x) = f’’’’(x) =sen(x) => f(0)=0
f’(x) = f’’’’’(x) = cos(x) => f’(0)=1
f’’(x) = f’’’’’’(x) = -sen(x) => f’’(0)=0
f’’’(x) = f’’’’’’’(x) = -cos(x) => f’’’(x)=-1
          Temos então M(x)=0 + x + 0x²/2 –x³/6 +0x4/24 + x5/120 + 0x6/720 – x7/5040, ou seja,
          M(x)=x – x3/6 + x5/120 – x7/5040.
          Vamos então verificar os gráficos:
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          Perceba que novamente à medida que aumentamos a quantidade de termos da somatória, mais o gráfico se aproxima do gráfico da função.


           Vamos agora analisar a função f(x)=1/(x-1). Definiremos primeiro as derivadas:
f(0)=-1
f’(x)=-1/(x-1)² => f’(0)=-1
f’’(x)=2/(x-1)³ => f’’(0)=-1
f’’’(x)=-6/(x-1)4 => f’’’(0)=-1
f’’’’(x)=24/(x-1)5 => f’’’’(0)=-1
          Temos então que M(x)=-1 – x – x2 – x3 – x4
          Novamente vamos elaborar os gráficos:

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          Os gráficos novamente indicam a aproximação.
          Perceba que as séries são infinitas e verificamos apenas os primeiros termos da somatória. Este post tem a intenção de apresentar estas séries sem análises mais profundas. Estas séries são estudadas em Cálculo II.

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