Utilizando o Winplot

          O winplot é um programa usado basicamente para fazer gráficos. Porém a sua utilidade pode ir além. Neste primeiro post, irei exibir uma experiência onde os gráficos gerados no winplot nos permitem estudar o comportamento de funções de segundo grau.

          O download do winplot pode ser feito clicando aqui.

          Uma função de segundo grau é do tipo f(x)=ax²+bx+c. O gráfico de uma função deste tipo é uma parábola. Vamos verificar o que acontece com o gráfico de uma função de segundo grau quando o coeficiente de x (b) varia de -5 a 5.
          Vamos adotar a=1 e c=4, ou seja, f(x) = x² + bx + 4. com b variando de -5 a 5.
          O primeiro passo é abrir o winplot, clicar na guia janela e escolher a opção 2-dim, ou apenas clicar em F2. Na janela aberta, vá na guia equação e selecione a primeira opção, explicita. Na nova janela, digite no campo onde aparece f(x)= "x^2+5x+4 e pressione enter. Irá aparecer na janela o gráfico desta função. Na janela de inventário clique em duplicar e diminua uma unidade do coeficiente de x e pressione enter. Repita o processo até -5.
          No fim obteremos os seguintes gráficos:

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          Verificamos que para quanto mais b se aproxima de 0, mais o vértice se aproxima do eixo y, tanto pela direita quanto pela esquerda.
          O próximo passo é marcar os vértices destas funções. Para isso clique na guia equação, vá em ponto e clique em (x,y) ... A coordenada x do vértice de uma parábola se dá por -b/2a. Faça os cálculos para cada um dos vértices.
          Os pontos serão marcados da seguinte forma:

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          Existe alguma função cujo gráfico passa pelos vértices das funções dadas? Verifique que aparentemente os pontos parecem formar uma parábola. Supondo existir uma parábola que passe por estes vértices, o que podemos concluir a partir deste desenho?
1º - A parábola é simétrica, ou seja, tem vértice no eixo y. Logo b=0.
2º - A parábola toca o eixo y no ponto 4, ou seja, c=4.
3º - A parábola tem concavidade voltada para baixo, logo a é negativo.
4º - A função desta parábola é do tipo f(x)=ax²+4.
          Para descobrir o valor de a, pegamos um dos vértices que marcamos, por exemplo (2,0). Ou seja, f(x)=a.2²+4=0, logo a=-1.
          Vamos então inserir a função f(x)=-x²+4 no inventário.
          Verifique que o gráfico passa por todos os vértices que marcamos:

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          Isso nos mostra que os vértices marcados são pontos da função f(x)=-x²+4.

          Esta relação existiria se o coeficiente de x² fosse a=2 para cada uma das funções onde b varia de -5 a 5? Vamos verificar. Apague todos os itens do inventário e vamos recomeçar a experiência com a=2.

          Os gráficos agora são os seguintes:

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          Em seguida vamos marcar os novos vértices destas funções. Obtemos os seguintes pontos:

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          Verifique que aparentemente os vértices são pontos de uma parábola com concavidade para baixo do tipo f(x)=ax²+4. Será que o valor de a continua a ser -1? Vamos verificar. Pegamos o ponto (1,2). f(x)=a.1²+4=2. Temos então que a=-2.

          Vamos então inserir a função f(x)=-2x²+4 no inventário. Verifique que novamente a parábola passa por todos os vértices:

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          A partir daí podemos fazer a seguinte suposição: Quando variamos o coeficiente de x em uma função de segundo grau, o gráfico formado pelos vértices destas funções é uma parábola cujo coeficiente de x² é o oposto do coeficiente de x² das funções originais, o coeficiente de x é 0 e o termo independente é igual ao termo independente das funções originais.

          Vejam que a partir do estudo dos gráficos gerados pelo Winplot nos criamos um teorema a respeito do comportamento dos gráficos estudados. Ou seja, o Winplot nos forneceu mais do que apenas desenhos.

          Que tal você fazer a sua experiência?