Função Seno no Winplot

          No post desta semana continuarei a explorar o Winplot. Hoje verificarei o comportamento de cada uma das constantes da função seno f(x)=Asen(Bx + C) + D.

          A principio vamos considerar C=D=0 e B=1. Vejamos o comportamento da constante A.

          No post anterior eu mostrei o passo a passo de como inserir funções no winplot. Nenhum novo comando será inserido nesta experiência, por isso não irei detalhar novamente como manusear o Winplot. Apenas uma observação deve ser feita. Para inserir uma função seno, deve ser inserida a palavra sin() e dentro dos parênteses deve ser inserido o conteúdo deste seno (por exemplo: Bx+C).

          Vamos prosseguir. f(x)=Asen(x). Com a variando de A=-1 a 2. O gráfico de cada função estará de uma cor para diferenciarmos a função.

Clique na imagem para ampliar

Veja que a amplitude da senoide é igual ao módulo de A, e que com A assumindo valores negativos, os valores da função assumem sinais opostos.

           Em seguida vamos analisar o comportamento de D. f(x)=sin(x) + D e vamos variar D de 0 a 2.

Clique na imagem para ampliar

          A imagem da função sofre um deslocamento de D. Ou seja, os valores mínimo e máximo da função têm a adição de D e consequentemente o restante da função sofre o mesmo processo. Observe que quando D=0 a função seno tem valores máximo e mínimo iguais a A e –A. Portanto, o valor máximo de uma função é D+|A| e o mínimo D-|A|.

          O Próximo passo é verificar como a constante B afeta o gráfico da função. f(x)=sen(Bx), com B variando de 1 a 3.

Clique na imagem para ampliar

Clique na imagem para ampliar

          A função f(x)=sen(x) tem freqüência de 2pi. Verifique que a freqüência da função varia de acordo com o valor de B, ou seja, a freqüência é de 2pi/B.

          Por último vamos analisar o comportamento de C. f(x)=sen(x + C). Variando C de 0 a 2.

Clique na imagem para ampliar

          Veja que em relação à função f(x)=sen(x). O gráfico sofre um deslocamento de –C no eixo x.

          Vamos então recapitular:

A: Define a amplitude do gráfico, sendo |A| esta amplitude.

B: Define a freqüência da função definida por 2pi/B.

C: Desloca a função no eixo x em –C.

D: Desloca a imagem em D. Valor máximo=D+|A|. Valor mínimo=D-|A|.

          Verifique agora o seguinte gráfico:

Clique na imagem para ampliar

          Pelo gráfico, podemos definir qual a função seno? Vamos tentar.

          A imagem da função vai de 1 a 5. Daí temos que a amplitude é 2. Ou seja, |A|=2. Temos que o valor máximo desta função é 5, ou seja, D+|A|=5, logo D=3. Verifique também, que a função tem dois pontos máximos consecutivos em 1 e 5, portanto a freqüência da função é 4. 2pi/B=4, então B=pi/2. Temos então que f(x)=Asen(xpi/2 + C) + 3 com a sendo 2 ou -2. Vamos verificar o ponto (1,5). f(1)=Asen(pi/2 + C) + 3 = 5. Logo, Asen(pi/2 + C) = 2. Como A=2 ou -2, sen(pi/2 + C)=1 ou -1. Pela lógica, se A=-2, então sen(pi/2 + C)=-1. Caso contrário A=2 e sen(pi/2 + C)=1. Vamos verificar as duas possibilidades. Primeiro para A=2.

          Temos então que sen(pi/2 + C)=1. Sabemos que o seno da somatória de dois ângulos se dá por sen(pi/2 + C)= sen(pi/2)cos(C) + cos(pi/2)sen(C).  Isso nos dá que C=0. E teríamos então a seguinte função: f(x)=2sen(pi/2) + 3.

          Para A=-2, temos sen(pi/2 + C)=-1, logo C=pi e teríamos a seguinte função: f(x)=-2sen(pi/2 + pi) + 3.

          Portanto o gráfico apresentado na figura pode ser a representação gráfica de qualquer uma das duas funções. Insira as funções no Winplot e verifique.