Construtivismo e Construcionismo

No post anterior eu falei sobre a linguagem LOGO. Vou aproveitar e falar agora sobre a filosofia construcionista que está por trás desta linguagem.

Seymour Papert, como já citado, simpatizava com as obras de Piaget e sua filosofia construtivista. Piaget afirmava que o aprendizado do indivíduo se dava conforme sua interação com o ambiente. Os estímulos externos do meio sobre o indivíduo permitiam a elaboração e construção de conhecimentos cada vez mais elaborados. Piaget afirmava que o indivíduo não possui inteligência inata, mas que ao mesmo tempo também não é passivo à influência do meio. Desta forma, Piaget diz que não existe uma verdade absoluta, e que o conhecimento adquirido pelo indivíduo depende do modo que este se relaciona com o meio e responde aos seus estímulos. Ainda, o modo como o indivíduo percebe o meio é determinado por suas experiências, resultado das relações que estabelece com este meio.

Piaget elaborou o princípio de equilibração, que afirma que o indivíduo adquire novos conhecimentos de duas formas, pela assimilação e pela acomodação. Citando o texto da wikipedia, " No primeiro caso aquilo com que se entra em contato é assimilado por um esquema já existente que então se amplia, no segundo, o dado novo é incompatível com os esquemas já formulados e então se cria um novo esquema acomodando este novo conhecimento. Este novo esquema será então ampliado na medida em que o indivíduo estabelecer relações com seu meio".

O construcionismo elaborado por Papert parte desta filosofia construtivista, e foca no aprendizado dos indivíduos, com destaque às crianças, utilizando recursos computacionais que estimulem este aprendizado. Estes recursos devem estimular a criança a elaborar a construção dos conceitos por conta própria. A criança faz uso de recursos e ferramentas concretas e se baseia na sua percepção de mundo para construir estes conceitos, motivo pelo qual alguns conceitos são mais complexos para uns que para outros. Papert afirma que a utilização de materiais palpáveis permite uma maior experimentação por parte da criança, permitindo a exploração da criatividade e intuição. O professor neste enfoque tem o papel de facilitador.

Em resumo, Papert afirma que a relação do indivíduo com o meio deve ser feito de forma concreta, ou seja, no campo material, com ferramentas e recursos palpáveis, permitindo desta forma a construção de conhecimento mais elaborado e sem imposição do professor, pelo contrário, auxiliado por ele.

A Linguagem LOGO

LOGO é uma linguagem de programação criada nos anos 60, pelo matemático Seymour Papert no MIT -Massachusetts Institute of Technology. Esta linguagem tem por trás uma filosofia sobre o aprendizado. Ela surgiu do contato de Papert com a obra de Piaget. A filosofia construtivista de Papert diz que o meio tem influência na construção de conhecimento do indivíduo. Afirma que o indivíduo possui, antes do conhecimento formal, conhecimentos adquiridos de forma espontânea e livre durante o decorrer de sua vida. Afirma ainda que este conhecimento intuitivo é melhor aprendido porque o indivíduo, através da exploração e da investigação, chega a uma conclusão por si só.

A linguagem LOGO portanto tem como objetivo primeiro auxiliar na educação de crianças e adolescentes, permitindo a exploração de aspectos geométricos. Entretanto é também utilizada em Robótica.

Faça o download do programa BetaLogo aqui. Programa em português.

Clicando aqui você encontra uma lista de comandos utilizados no programa BetaLogo com a descrição do que faz e um exemplo de como utilizar.

LOGO é uma linguagem onde os comandos são instruções de movimento da tartaruga. Esta tartaruga seria o lápis. Os comandos basicamente instruem a tartaruga a andar pra trás e para frente e girar um determinado valor de graus para a direita ou para a esquerda.

Como exemplo vamos criar um quadrado de lado 50.

O primeiro comando deve ser ul, que instrui a tartaruga a usar o lápis, ou seja, quando a tartaruga se movimentar, um traço vai indicar o trajeto dela.

Em seguida digite pf 50 e dê enter, a tartaruga vai andar 50 passos. Digite então pd 90 e de enter, a tartaruga vai girar 90 graus para a direita. Digite novamente pf 50, dê enter e novamente pd 90 e dê enter. A tartaruga vai novamente andar 50 passos e girar 90 graus para a direita. Dois lados do quadrado já foram feitos. Faça o mesmo procedimento mais duas vezes e a tartaruga desenhará o quadrado. Você pode ainda digitar todos os comandos numa linha só antes de dar enter e o processo será feito todo de uma vez.

Como LOGO é uma linguagem de programação, é possível que os alunos se atenham aos comandos da linguagem e deixem a matemática de lado. Cabe ao professor direcionar e condicionar o processo, e, se necessário, restringir o uso de certos comandos. Para exemplificar como isto pode ocorrer, vamos considerar que o professor propôs a criação de um triângulo escaleno no LOGO.

Vamos instruir a tartaruga a ir 30 passos para a frente (pf 30), girar 120 graus para a direita (pd 120) e andar mais 40 passos (pf 40). E agora, como saber quantos graus girar a tartaruga e quantos passos ela deve dar para fechar o triângulo? Existe um comando no BetaLogo que envia a tartaruga direto para o centro, onde começamos o problema. É o comando pc. Digitando este comando a tartaruga volta para o centro e o triângulo está traçado. O aluno utilizou algum método matemático para fazer este triângulo? Não, usou apenas os comandos do programa.

Se o professor então restringisse o problema apenas ao uso dos comandos de andar e girar (pf, pt, pd, pe) e ao conhecimento matemático dos alunos, como resolver esta questão?

Vamos então refazer o problema. O comando tat apaga tudo o que foi feito e volta a tartaruga para a posição inicial. Vamos repetir os primeiros comandos (pf 30 pd 120 pf 40). Precisamos agora saber quanto vamos girar a tartaruga e quanto andar. Nós temos 2 lados do triângulo e o ângulo formado entre eles. Podemos então usar a lei dos cossenos que diz que a²=b²+c²-2bc(cosA). Onde a, b, c são os lados e A é o ângulo oposto ao lado a. Como o ângulo externo entre b e c é de 120º, então o ângulo entre eles é 60º. Substituimos então a²=30²+40²-2x30x40cos60º. Isso nos dá que a é igual a aproximadamente 36,06. Mas qual é o ângulo entre a e c? Vamos repetir então a lei dos cossenos. b²=a²+c²-2ac(cosB). Ou seja, 900=1300+1600-2x40x36,06x(cosB). Isso nos dá que o ângulo B é de 46,1º. Portanto devemos girar a tartaruga 133,9º para a direita (pd 133.9) e andar 36,06 passos para frente (pf 36.06). Está criado o triângulo escaleno com as restrições dadas.

Como toda a atividade de matemática envolvendo informática, o professor deve estar sempre atento para evitar a dispersão dos alunos.

Utilizando a informática para ensinar matemática

Eu começo com a pergunta: Como um professor que deseja utilizar a informática deve iniciar esta atividade?

O professor deve definir primeiro qual o conteúdo deseja ensinar. O importante é achar o programa mais adequado a ser utilizado. O programa deve se adaptar ao conteúdo empregado e não o contrário, o conteúdo se adaptar ao programa. Vamos considerar um professor ensinando matrizes. O que deve ser feito primeiro é pesquisar programas na internet. Pesquisar no google, por exemplo, algo como "software matemático para matriz".

Em uma pequena busca eu encontrei dois programas distintos:

O primeiro é o MathSys. (Download aqui)

É um programa gratuito, em português, desenvolvido na linguagem Delphi. Apresenta um layout bem simples e fácil de usar.

No início deve ser selecionado se deseja fazer cálculos com uma matriz (determinante, matriz inversa, transposta, multiplicação por escalar, matriz linha equivalente) ou com duas (soma, subtração, multiplicação).

Este programa não permite uma maior exploração das operações com matriz. Seria mais recomendado para introduzir os alunos à matemática informatizada, ou para reduzir o trabalho manual quando se precisa fazer cálculos com várias matrizes, ou com matrizes muito grande.

O MathSys abrange ainda outros conteúdos além de matriz, como matemática financeira, frações, geometria analítica e probabilidade.

O segundo é o WinMat. (Download aqui)

Também gratuito, e a versão disponibilizada aqui está em português.

Ele permite a criação de diversas matrizes e associa letras a cada matriz. Permite todas as operações básicas com matriz, além de gerar matriz de rotação em 2D e 3D e matriz de reflexão. É possível inserir fórmulas para gerar matriz e resolve sistemas lineares. Possui ainda a função de programação linear. Com este programa o caráter experimental da matemática informatizada está presente, pois como podemos alternar entre as matrizes sem perder as anteriores podemos analisar os efeitos de determinada operação. Este software reúne eficiência com um manuseio relativamente simples.

Existe um programa chamado SciLab (Download aqui)

Este programa também realiza diversas operações com matriz. É um programa muito mais completo, trabalha ainda com funções, gráficos, etc. Este programa trabalha a partir de comandos e é necessário um conhecimento mais aprofundado do programa tanto por parte dos alunos quanto do professor para que seja utilizado com melhor aproveitamento. Mais recomendado pra cursos superiores na área de exatas.

Escolhido o programa que mais se adapte às suas necessidades, o professor deve então estudar o programa, e formular as atividades relacionadas ao conteúdo a ser ensinado. É muito importante que o professor tenha um bom conhecimento sobre o programa e tenha um planejamento das atividades, pois os alunos se dispersam com facilidade neste tipo de atividade.

Informática e Educação Matemática

Ainda discutindo o uso da informática na matemática, recomendo a leitura do livro "Informática e Educação Matemática", de Marcelo de Carvalho Borba e Miriam Godoy Penteado (Link para comprar o livro aqui). Neste livro eles falam sobre os conceitos comentados

Informática como mídia de ensino: Ao utilizar a tecnologia de uma forma que estimule a formulação de conjecturas e a coordenação de diversas representações de um conceito é possível que novos aspectos de um tema tão "estável", como funções quadráticas, apareçam em uma sala de aula de não especialistas de matemática. (Página 36)

Ela é uma nova extensão de memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na experimentação, e em uma "nova linguagem" que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea (...) Mais ainda, entendemos que conhecimento só é produzido com uma determinada mídia, ou com uma tecnologia da inteligência.(Página 46)

Reorganização do pensamento: Entendemos que não há apenas uma justaposição entre técnica e seres humanos, como se a primeira apenas se juntasse aos últimos. Há uma interação ente humanos e não humanos de uma forma que aquilo que é um problema com uma determinada tecnologia passa a ser uma mera questão na presença de outra. (Página 47)

Coletivo pensante: É por isso que adotamos uma perspectiva teórica que se apoia na noção de que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias e não, como sugerem outras teorias, por seres humanos solitários ou coletivos formados apenas por seres humanos. (Página 46)

Sabemos que o trabalho individual contribui para que os professores não saiam da zona de conforto. O trabalho individual estimula a estagnação. É o pensar e agir coletivo que poderão impulsionar e manter o professor numa zona de risco de forma que ele possa usufruir o seu potencial de desenvolvimento. Acreditamos que o engajamento de professores em redes de trabalho é uma possibilidade de expandir essa forma de agir e pensar e consequentemente provocar mudanças na educação escolar. (Página 68)

Informática, uma mídia de ensino da matemática

Nos últimos anos, com o avanço das tecnologias, vemos diversos setores reavaliando, alterando e criando novos processos para se valer de forma mais eficiente deste avanço. A escola pouco avança neste aspecto. Por conseqüência, não explora as possibilidades de aprendizado que a informática oferece.

Muitos professores alegam que a informática diminui as etapas do processo de construção do conhecimento. Porém, usada de forma apropriada, a informática permite a construção de conhecimentos novos. Isso é possível quando usamos um recurso de informática não somente como um facilitador, mas de forma que, a partir de sua execução, possamos, por exemplo, simplificar processos repetitivos e mecânicos e desta forma ir além do usual e fazer uma análise mais completa do problema.

Não devemos, entretanto, abandonar as outras mídias de ensino, como a escrita. A informática oferece novos caminhos, porém nem sempre a informática é o melhor caminho. A informática é defendida como mídia de ensino, deve ser mais que uma ferramenta, que facilita alguns processos. A intenção é tornar a informática um sujeito ativo na educação. Os alunos devem interagir com os computadores e a partir daí analisar os processos e construir o conhecimento.

A informática permite a quebra de paradigmas. É este seu objetivo. Através da possibilidade de explorar e experimentar situações surge uma nova organização do pensamento. Estas novas relações permitidas pelo uso da informática, além de aguçar a curiosidade dos alunos, traz a estes alunos um conhecimento mais completo, pois eles participaram de forma importante da construção deste conhecimento.

Pelas características investigativas do uso da informática, é importante que o professor saiba bem o objetivo que deseja atingir. A possibilidade de dispersão dos alunos é algo que deve ser levado em consideração, portanto o professor deve estar sempre atento para direcionar as atividades para o fim desejado. Estudos mostram a importância de os professores conversarem entre si para trocarem experiências e aperfeiçoarem suas práticas. Muito importante também é a interação entre os alunos neste processo de investigação, pois o compartilhamento de teses permite que eles tenham uma maior compreensão da situação e apreendam mais informações destas atividades. Nestas atividades o pensamento coletivo permite resultados mais grandiosos.

Com o intuito de exemplificar o que disse sobre a informática como mídia de ensino, proponho analisarmos a utilidade dos recursos de informática que usei neste blog até aqui. Desde já podemos creditar a existência deste blog à informática.

O importante no uso da informática no ensino é usá-la de modo adequado. Veja que no post sobre as séries de McLaurin o software winplot foi utilizado apenas para ilustrar a teoria. Nada de novo foi acrescentado neste estudo. O professor poderia usar este recurso apenas para chamar a atenção dos alunos, mas neste caso a informática é apenas uma ferramenta.

No post sobre o efeito dos coeficientes de uma função seno além de ilustrar os gráficos, pudemos analisar o efeito da variação dos coeficientes. O software agilizou o trabalho mecânico de elaboração de gráficos, mas não chegamos a nenhum novo conceito.

Já no post sobre as parábolas, além de o software agilizar o processo de elaboração das parábolas, conseguimos ir além da simples análise das parábolas. Conseguimos elaborar um teorema. Fomos além do trivial.

Veja que em cada uma das situações o envolvimento da informática foi diferente. Na primeira o recurso informático foi usado apenas para ilustrar, na segunda agilizou o processo mecânico e no terceiro houve uma participação ativa do programa. Cabe ao professor direcionar o uso da informática.

Geogebra passo-a-passo

          Hoje eu vou refazer o exercício da semana passada, mas com mais detalhes e com imagens para que fique mais fácil de compreender e mostrar como é intuitivo e dinâmico trabalhar com o Geogebra.
          Abra o Geogebra e clique no segundo botão. Clique cinco vezes em locais diferentes no plano cartesiano.

Inserindo os pontos

          Em seguida dê um clique duplo sobre cada um das coordenadas dos pontos para editarmos a posição destes pontos para posteriormente formarmos as nossas retas paralelas. Um dos cinco pontos não precisa ser editado agora.

Definindo coordenadas. A=(2,1) B=(6,1) D=(2,4) E=(6,4)

          Clique agora no terceiro botão, e selecione os dois pontos no plano cartesiano conforme a figura para definirmos a reta.

Clique nos pontos D e E para definir a reta

          Clique na seta no canto inferior direito do terceiro botão e selecione a segunda opção e clique nos dois pontos conforme a figura para formarmos nosso segmento.

Os pontos A e B definem o segmento de reta

          Veja a esquerda no grupo dos Objetos Dependentes que a reta que criamos é representada pela letra a. Agora iremos editar a coordenada do ponto que deixamos esquecido. Dê dois cliques na coordenada de e escreva na coordenada = Ponto[a], que representa que o ponto está sobre a reta a.

Editando o ponto C. C=Ponto[a]

          Agora é a hora de criarmos nosso triângulo. Clique no botão em que há a figura de um triângulo e clique nos pontos que limitam o segmento de reta e o ponto que colocamos sobre a reta a. O primeiro ponto clicado deve ser clicado novamente para fechar o triângulo, pois a função do botão não é formar apenas triângulos, mas sim polígonos de tantos vértices quanto possível.

Gerando o Triângulo

          Para a tela ficar mais limpa, vamos ocultar os nomes e pontos que não são relevantes para o exercício. Para ocultar um item, clique no circulo que antecede a sua descrição no quadro de objetos. Para ocultar um nome clique com o botão direito sobre o item e clique em Exibir Rótulo.

Ocultando objetos

          Agora é importante que fixemos o que não queremos que seja movido. No caso o polígono e a reta que contém o ponto que iremos deslocar. Para tanto, clique no objeto a ser fixado com o botão direito e vá em propriedades. Em propriedades marque a caixa Fixar Objeto e feche a janela. Faça este procedimento para a reta e para o triângulo.

Fixando Objetos

          Agora somente o ponto C pode se mover. Vamos agora exibir a área do triângulo. Clique na seta do botão onde aparece um ângulo e selecione a opção área e clique no triângulo.

Exibindo a área

          Pronto. Simples e intuitivo, não?
          Como eu disse na semana passada, como o Geogebra é baseado na linguagem java, ele nos permite reproduzir o trabalho que criamos. São os chamados applets, que podem ser salvos como página da web, e também inseridos em outras páginas. Para criar um applet e inseri-lo em alguma página como um blog, primeiro devemos clicar na guia arquivo, em seguida em explortar e finalmente em Planilha Dinâmica como Páginda da WEB (html).

Criando o applet

          Na janela que abrir, clique na guia Avançado e certifique-se que no canto inferior direito esteja na caixa de diálogo a opção Área de Transferência: Google Gadget. As demais opções são opcionais, conforme quais funções desejar que esteja disponível no seu applet. Clique no botão Área de Transferência.

Selecionando funções

          Agora abra um editor de texto e cole o conteúdo que foi copiado para área de transferência. Selecione o texto que vai de <applet até </applet>.

Copiar o texto de <applet...

até </applet>

          Copie este texto e cole no editor html de seu blog. Para que o applet abra, o java deve estar instalado no computador. Está criado o seu applet.

Utilizando o Geogebra

         Neste post iremos conhecer algumas das funções do Geogebra.
         Como disse na semana passada, o Geogebra é uma ferramenta interessante pois nos permite verificar de imediato qualquer alteração que fazemos no nosso programa.
         Para demonstrar este dinamismo, irei construir passo a passo um programa que verifica a área de um triângulo. Neste programa construiremos um segmento de reta que será um dos lados de um triângulo e em seguida traçaremos uma reta paralela a este segmento, onde o terceiro vértice deste triângulo estará contido.
          O Geogebra nos permite construir vários objetos de maneira simples e intuitiva através dos botões que ele apresenta acima da janela do plano cartesiano. O primeiro passo é clicar no segundo destes botões (note que há uma seta apontando para baixo em cada um destes botões. Clicando nela irá abrir uma janela exibindo as funções que este botão pode executar). Clique cinco vezes em diferentes partes da janela do plano cartesiano. Irá aparecer 5 pontos na tela. Clique então no primeiro botão, na função onde aparece uma seta de mouse (Mover).
          Ao lado da janela do plano cartesiano apareceram agora as coordenadas dos 5 pontos que criamos. Dê dois cliques nas coordenadas do ponto A e edite para a coordenada desejada. No nosso exemplo coloquei as coordenadas (2,1). Faça o mesmo para B, (6,1). Para D (2,4) e E (6,4). Deixe o C de lado por enquanto.
          Clique agora na seta do terceiro botão e escolha a opção Reta definida por Dois Pontos. Clique primeiro no ponto D e depois em E. Mais uma vez clique no primeiro botão (Mover) e clique com o botão direito do mouse em C. Vá em propriedades e no campo Definição apague a coordenada que aparecer e digite Ponto[a] (isto vai definir C como um ponto sobre a reta a). Clique agora no quinto botão e selecione a função Polígono. Clique no ponto A, depois em B, após C e novamente A. Agora vá no oitavo botão e selecione a opção Área e em seguida clique dentro do nosso triângulo. Ele irá exibir o valor da área do nosso triângulo.
          Clique novamente no primeiro botão e veja que todos os objetos que inserimos podem ser movidos se clicarmos sobre eles e arrastarmos o mouse sem soltar o clique. Para evitar que isto aconteça temos dois métodos. Podemos ocultar o objeto ou fixá-lo. Os pontos A, B, D e E podem ser ocultados. Clique com o botão direito sobre eles e clique em Exibir Objeto. Ou então clique no circulo que há antes de suas coordenadas. Clique agora na reta a com o botão direito, vá em propriedades e marque a opção fixar objeto. Em seguida clique com o botão direito no triângulo e faça o mesmo procedimento. Você pode ainda clicar sobre os lados do triângulo com o botão direito e clicar em Exibir Rótulo caso não queira que seja exibido o nome deste lado.
          Note que agora o único objeto que pode ser alterado é o ponto C. Clique sobre ele e arraste-o sobre a reta a. Veja que o triângulo acompanha o seu vértice e que a área exibida não se altera. Isto é facilmente compreendido pois a área de um triângulo é calculada pela metade do produto entre a sua base e sua altura.
          Você pode ainda desmarcar a opção de fixar objeto da reta a e movê-la para cima e para baixo e verificar a alteração da área do triângulo.
          Uma outra grande vantagem do Geogebra é que é desenvolvido na linguagem java, que apresenta bastante compatibilidade com a internet. Podemos desta forma transportar para páginas de internet os programas que realizamos no Geogebra sem perder o seu dinamismo. Há diversas formas de fazer isso. Para isso basta clicar na guia Arquivo, ir em Exportar e em seguida clicar em Planilha Dinâmica como Página WEB (html). Na janela que abre há algumas opções de exportação de acordo com o fim desejado.
          Para este blog eu cliquei na guia avançado, permiti funções com o botão direito, botão de reinício da construção e exibição da caixa de ferramentas. E no campo inferior direito selecionei Área de Transferência: Google Gadget. Cliquei em Área de trasnferência. Este processo envia à área de transferência todo o código do programa. Colei então o código em um editor de texto e selecionei todo o coneúdo entre <applet> e </applet> e então copiei e colei na edição html deste post.
          Segue abaixo o referido programa:


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Geogebra

A partir de agora vamos deixar o winplot de lado e vamos seguir com novos softwares. Hoje vou apresentar o Geogebra.

O Geogebra foi desenvolvido por Markus Hohenwarter na University of Salzburg, na Áustria. É desenvolvido em Java e pode ser usado em diversas plataformas. Clicando aqui você é redirecionado para a página de download do software.

Hohenwarter desenvolveu o geogebra com o intuito de utilizá-lo em sala de aula. É uma excelente ferramenta geométrica permitindo o desenvolvimento de diversos gráficos permitindo alterações dinâmicas destes. Apresenta ainda comandos mais avançados para estudo de vetores, derivações e etc. Mescla assim a representação geométrica e algébrica.

Por esta infinidade de recursos o Geogebra vai além da geometria e se torna um bom recurso para o estudo de álgebra e de cálculo. O Geogebra, além de ser gratuito, é uma boa ferramenta por ser bastante intuitiva e principalmente por permitir que dados sejam alterados de forma dinâmica, tornando perceptível o efeito destas mudanças.

Vou indicar agora alguns sites com tutoriais e exemplos de como o geogebra pode ser utilizado.

Site oficial do Geogebra.

Site do Prof. Humberto José Bortolossi.

Dia de Matemática.

Tutoriais de Geogebra. (Link encontrado no Portal de Educação do Estado do Paraná)

Ajuda do Geogebra traduzida.

Veja na Wikipedia (clicando aqui) mais sobre o Geogebra. Lá há também alguns links com tutoriais e outras informações. Alguns em outros idiomas.

Outra boa fonte sobre o Geogebra é o livro Apendendo Matemática com o Geogebra. De J. Cássio C. Nóbriga e Luis Cláudio L.A.. Pode ser comprado pela internet clicando aqui.

Séries de Maclaurin

          No post de hoje vou falar sobre as séries de Maclaurin. As séries de Maclaurin são um caso particular das séries de Taylor. E estas, por sua vez, têm o seu nome dado por conta de Brook Taylor, que as estudou em 1715.

          As séries de Taylor são compostas por uma somatória infinita de polinômios com coeficientes definidos pelas derivadas em um ponto a de uma f(x) infinitamente derivável. Ou seja:

          Como dito no início, nosso objetivo são as séries de Maclaurin, que é um caso particular das séries de Taylor. As séries de Taylor podem ser chamadas de séries de Maclaurin quando a somatória é feita no ponto a=0. Portanto temos:

          Estas séries são usadas para aproximação da função f(x) no ponto dado. Apresentarei alguns exemplos de diferentes séries de Maclaurin.

          A primeira função que vamos estudar é f(x)=e^x. Esta função apresenta todas as suas derivadas iguais, ou seja, f(x)=f’(x)=f’’(x)=...=e^x. E f(0)=1. Temos então que a série de Maclaurin M(x) é

M(x)=1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n!.

Vamos utilizar o winplot para verificarmos esta aproximação. Utilizaremos cores diferentes para verificarmos os gráficos das aproximações até o quinto termo.

          Vamos então verificar os gráficos:

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          Veja que à medida que aumentamos a quantidade de termos da série, o gráfico se aproxima do gráfico da função.

          Passemos agora para uma nova função. f(x)=sen(x). O primeiro passo é verificar suas derivadas.

f(x) = f’’’’(x) =sen(x) => f(0)=0

f’(x) = f’’’’’(x) = cos(x) => f’(0)=1

f’’(x) = f’’’’’’(x) = -sen(x) => f’’(0)=0

f’’’(x) = f’’’’’’’(x) = -cos(x) => f’’’(x)=-1

          Temos então M(x)=0 + x + 0x²/2 –x³/6 +0x⁴/24 + x⁵/120 + 0x⁶/720 – x⁷/5040, ou seja,

          M(x)=x – x³/6 + x⁵/120 – x⁷/5040.

          Vamos então verificar os gráficos:

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          Perceba que novamente à medida que aumentamos a quantidade de termos da somatória, mais o gráfico se aproxima do gráfico da função.

           Vamos agora analisar a função f(x)=1/(x-1). Definiremos primeiro as derivadas:

f(0)=-1

f’(x)=-1/(x-1)² => f’(0)=-1

f’’(x)=2/(x-1)³ => f’’(0)=-1

f’’’(x)=-6/(x-1)⁴ => f’’’(0)=-1

f’’’’(x)=24/(x-1)⁵ => f’’’’(0)=-1

          Temos então que M(x)=-1 – x – x² – x³ – x⁴
          Novamente vamos elaborar os gráficos:

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          Os gráficos novamente indicam a aproximação.
          Perceba que as séries são infinitas e verificamos apenas os primeiros termos da somatória. Este post tem a intenção de apresentar estas séries sem análises mais profundas. Estas séries são estudadas em Cálculo II.

Função Seno no Winplot

          No post desta semana continuarei a explorar o Winplot. Hoje verificarei o comportamento de cada uma das constantes da função seno f(x)=Asen(Bx + C) + D.

          A principio vamos considerar C=D=0 e B=1. Vejamos o comportamento da constante A.

          No post anterior eu mostrei o passo a passo de como inserir funções no winplot. Nenhum novo comando será inserido nesta experiência, por isso não irei detalhar novamente como manusear o Winplot. Apenas uma observação deve ser feita. Para inserir uma função seno, deve ser inserida a palavra sin() e dentro dos parênteses deve ser inserido o conteúdo deste seno (por exemplo: Bx+C).

          Vamos prosseguir. f(x)=Asen(x). Com a variando de A=-1 a 2. O gráfico de cada função estará de uma cor para diferenciarmos a função.

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Veja que a amplitude da senoide é igual ao módulo de A, e que com A assumindo valores negativos, os valores da função assumem sinais opostos.

           Em seguida vamos analisar o comportamento de D. f(x)=sin(x) + D e vamos variar D de 0 a 2.

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          A imagem da função sofre um deslocamento de D. Ou seja, os valores mínimo e máximo da função têm a adição de D e consequentemente o restante da função sofre o mesmo processo. Observe que quando D=0 a função seno tem valores máximo e mínimo iguais a A e –A. Portanto, o valor máximo de uma função é D+|A| e o mínimo D-|A|.

          O Próximo passo é verificar como a constante B afeta o gráfico da função. f(x)=sen(Bx), com B variando de 1 a 3.

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          A função f(x)=sen(x) tem freqüência de 2pi. Verifique que a freqüência da função varia de acordo com o valor de B, ou seja, a freqüência é de 2pi/B.

          Por último vamos analisar o comportamento de C. f(x)=sen(x + C). Variando C de 0 a 2.

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          Veja que em relação à função f(x)=sen(x). O gráfico sofre um deslocamento de –C no eixo x.

          Vamos então recapitular:

A: Define a amplitude do gráfico, sendo |A| esta amplitude.

B: Define a freqüência da função definida por 2pi/B.

C: Desloca a função no eixo x em –C.

D: Desloca a imagem em D. Valor máximo=D+|A|. Valor mínimo=D-|A|.

          Verifique agora o seguinte gráfico:

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          Pelo gráfico, podemos definir qual a função seno? Vamos tentar.

          A imagem da função vai de 1 a 5. Daí temos que a amplitude é 2. Ou seja, |A|=2. Temos que o valor máximo desta função é 5, ou seja, D+|A|=5, logo D=3. Verifique também, que a função tem dois pontos máximos consecutivos em 1 e 5, portanto a freqüência da função é 4. 2pi/B=4, então B=pi/2. Temos então que f(x)=Asen(xpi/2 + C) + 3 com a sendo 2 ou -2. Vamos verificar o ponto (1,5). f(1)=Asen(pi/2 + C) + 3 = 5. Logo, Asen(pi/2 + C) = 2. Como A=2 ou -2, sen(pi/2 + C)=1 ou -1. Pela lógica, se A=-2, então sen(pi/2 + C)=-1. Caso contrário A=2 e sen(pi/2 + C)=1. Vamos verificar as duas possibilidades. Primeiro para A=2.

          Temos então que sen(pi/2 + C)=1. Sabemos que o seno da somatória de dois ângulos se dá por sen(pi/2 + C)= sen(pi/2)cos(C) + cos(pi/2)sen(C).  Isso nos dá que C=0. E teríamos então a seguinte função: f(x)=2sen(pi/2) + 3.

          Para A=-2, temos sen(pi/2 + C)=-1, logo C=pi e teríamos a seguinte função: f(x)=-2sen(pi/2 + pi) + 3.

          Portanto o gráfico apresentado na figura pode ser a representação gráfica de qualquer uma das duas funções. Insira as funções no Winplot e verifique.

Utilizando o Winplot

          O winplot é um programa usado basicamente para fazer gráficos. Porém a sua utilidade pode ir além. Neste primeiro post, irei exibir uma experiência onde os gráficos gerados no winplot nos permitem estudar o comportamento de funções de segundo grau.

          O download do winplot pode ser feito clicando aqui.

          Uma função de segundo grau é do tipo f(x)=ax²+bx+c. O gráfico de uma função deste tipo é uma parábola. Vamos verificar o que acontece com o gráfico de uma função de segundo grau quando o coeficiente de x (b) varia de -5 a 5.
          Vamos adotar a=1 e c=4, ou seja, f(x) = x² + bx + 4. com b variando de -5 a 5.
          O primeiro passo é abrir o winplot, clicar na guia janela e escolher a opção 2-dim, ou apenas clicar em F2. Na janela aberta, vá na guia equação e selecione a primeira opção, explicita. Na nova janela, digite no campo onde aparece f(x)= "x^2+5x+4 e pressione enter. Irá aparecer na janela o gráfico desta função. Na janela de inventário clique em duplicar e diminua uma unidade do coeficiente de x e pressione enter. Repita o processo até -5.
          No fim obteremos os seguintes gráficos:

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          Verificamos que para quanto mais b se aproxima de 0, mais o vértice se aproxima do eixo y, tanto pela direita quanto pela esquerda.
          O próximo passo é marcar os vértices destas funções. Para isso clique na guia equação, vá em ponto e clique em (x,y) ... A coordenada x do vértice de uma parábola se dá por -b/2a. Faça os cálculos para cada um dos vértices.
          Os pontos serão marcados da seguinte forma:

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          Existe alguma função cujo gráfico passa pelos vértices das funções dadas? Verifique que aparentemente os pontos parecem formar uma parábola. Supondo existir uma parábola que passe por estes vértices, o que podemos concluir a partir deste desenho?
1º - A parábola é simétrica, ou seja, tem vértice no eixo y. Logo b=0.
2º - A parábola toca o eixo y no ponto 4, ou seja, c=4.
3º - A parábola tem concavidade voltada para baixo, logo a é negativo.
4º - A função desta parábola é do tipo f(x)=ax²+4.
          Para descobrir o valor de a, pegamos um dos vértices que marcamos, por exemplo (2,0). Ou seja, f(x)=a.2²+4=0, logo a=-1.
          Vamos então inserir a função f(x)=-x²+4 no inventário.
          Verifique que o gráfico passa por todos os vértices que marcamos:

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          Isso nos mostra que os vértices marcados são pontos da função f(x)=-x²+4.

          Esta relação existiria se o coeficiente de x² fosse a=2 para cada uma das funções onde b varia de -5 a 5? Vamos verificar. Apague todos os itens do inventário e vamos recomeçar a experiência com a=2.

          Os gráficos agora são os seguintes:

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          Em seguida vamos marcar os novos vértices destas funções. Obtemos os seguintes pontos:

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          Verifique que aparentemente os vértices são pontos de uma parábola com concavidade para baixo do tipo f(x)=ax²+4. Será que o valor de a continua a ser -1? Vamos verificar. Pegamos o ponto (1,2). f(x)=a.1²+4=2. Temos então que a=-2.

          Vamos então inserir a função f(x)=-2x²+4 no inventário. Verifique que novamente a parábola passa por todos os vértices:

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          A partir daí podemos fazer a seguinte suposição: Quando variamos o coeficiente de x em uma função de segundo grau, o gráfico formado pelos vértices destas funções é uma parábola cujo coeficiente de x² é o oposto do coeficiente de x² das funções originais, o coeficiente de x é 0 e o termo independente é igual ao termo independente das funções originais.

          Vejam que a partir do estudo dos gráficos gerados pelo Winplot nos criamos um teorema a respeito do comportamento dos gráficos estudados. Ou seja, o Winplot nos forneceu mais do que apenas desenhos.

          Que tal você fazer a sua experiência?